（2012•黃山模擬）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對于定義域內(nèi)任意x1、x2（x1≠x2），有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x2-2x+3；
③f（x）=
1
x
；
④f（x）=ex；
⑤f（x）=lnx．
其中為恒均變函數(shù)的序號是
①②
①②
．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）
分析：對于所給的每一個函數(shù)，分別計算
f(x1)-f(x2)
x1-x2
和f′(
x1+x2
2
)的值，檢驗二者是否相等，從而根據(jù)恒均變函數(shù)”的定義，做出判斷．
解答：解：對于①f（x）=2x+3，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
2x1-2x2
x1-x2
=2，f′(
x1+x2
2
)=2，滿足
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)，為恒均變函數(shù)．
對于②f（x）=x2-2x+3，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
(x12-2x1)-(x22-2x2)
x1-x2
=
(x1-x2)(x1+x2-2)
x1-x2
=x1+x2-2
f′(
x1+x2
2
)=2•
x1 +x2
2
-2=x1+x2-2，故滿足
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)，為恒均變函數(shù)．
對于；③f(x)=
1
x
，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
1
x1
- 
1
x2
x1-x2
=
-1
x1x2
，f′(
x1+x2
2
)=-
1
(
x1 +x2
2
)2
=
4
(x1+x2)2
，
顯然不滿足
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)，故不是恒均變函數(shù)．
對于④f（x）=ex ，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
ex1- ex2
x1-x2
，f′(
x1+x2
2
)=e
x1+x2
2
，顯然不滿足
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)，故不是恒均變函數(shù)．
對于⑤f（x）=lnx，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
lnx1-lnx2
x1-x2
=
ln
x1
x2
x1-x2
，f′(
x1+x2
2
)=
2
x1+x2
，
顯然不滿足
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=f′(
x1+x2
2
)，故不是恒均變函數(shù)．
故答案為 ①②．
點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算，“恒均變函數(shù)”的定義，判斷命題的真假，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
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（2012•黃山模擬）已知向量
a
=(1，cos
x
2
）與
b
=（
3
sin
x
2
+cos
x
2
，y）共線，且有函數(shù)y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(
2π
3
-2x)的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的對邊分別是a，b，c，且滿足2acosC+c=2b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．

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（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且對一切n∈N*，都有
b1
a1
+
b2
2a2
+…+
bn
nan
=2n+1成立，求Sn．

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2π
3
)+sin(α+
4π
3
)=0，由此可以推知：四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為
sinα+sin(α+
π
2
)+sin(α+π)+sin(α+
3π
2
)=0
sinα+sin(α+
π
2
)+sin(α+π)+sin(α+
3π
2
)=0
．

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