Question

已知函數(shù)f（x）=

3x+1

x+2

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求該函數(shù)在區(qū)間[1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）可將原函數(shù)變成f（x）=3-

5

x+1

，根據(jù)單調(diào)性的定義，通過該函數(shù)解析式即可判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．可利用求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)的方法來證明該結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即知f（x）在[1，5]上單調(diào)遞增，所以最大值f（5），最小值f（1）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，證明：f′（x）=

5

(x+2)2

＞0；
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）在[1，5]上單調(diào)遞增；
∴此時(shí)，f（x）的最大值為f（5）=

16

7

，最小值為f（1）=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：考察通過解析式的形式及單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．