Question

20．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₃=17，a₁a₃=16
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n+11，T_n為數(shù)列{b_n}前n項的絕對值之和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求出，
（2）先化簡b_n，當(dāng)1≤n≤6時，b_n＞0；當(dāng)n≥7時，b_n＜0．分類計算即可．

解答 解：（1）由a₁+a₃=17，a₁a₃=16，解得a₁=1，a₃=16，或a₁=16，a₃=1，
∵數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，
∴a₁=1，a₃=16，
∴q²=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=16，解得q=4
∴a_n=4^n-1，
（2）b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n+11=13-2n，
由b_n=13-2n≥0，得n≤$\frac{13}{2}$，
∴當(dāng)1≤n≤6時，b_n＞0；當(dāng)n≥7時，b_n＜0．
當(dāng)1≤n≤6時，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b_n=12n-n²，
當(dāng)n≥7時，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b₆-（b₇+b₈+b₉+…+b_n）=2S₆-S_n=n²-12n+72，
綜上可知：Tn=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，1≤n≤6}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7}\end{array}\right.$

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．