Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，對任意的正整數(shù)n，都有2S_n=2P

a

2 n

+Pa_n-P（P∈R）都成立，
（1）求常數(shù)P的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁=1及把n=1代入到遞推公式中2S_n=2pa_n²+pa_n-p可求p
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，可得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2），兩式相減整理可得 （a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0，結(jié)合已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)可得，an-an-1=

1

2

，由等差數(shù)列的通項公式可求

解答： 解：：（1）由a₁=1及2S_n=2pa_n²+pa_n-p（n∈N^*），
得：2=2p+p-p
∴p=1
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1①
得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2，n∈N^*） ②
由①-②得   2a_n=2（a_n²-a_n-1²）+（a_n-a_n-1）
即：2（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0∴（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
由于數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)
∴2a_n-2a_n-1=1即
a_n-a_n-1=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是an=

1

2

(n-1)．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公求解數(shù)列的通項公式，要注意對n=1的檢驗，及利用遞推公式構(gòu)造特殊（等差）數(shù)列求通項公式．