Question

13．已知梯形ABCD中，BC=6，$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，點P為平面ABCD上的點，且$\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{4}$=$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DP}$|，則點P到直線AD的距離為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，在梯形ABCD中，由$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，可得AB=2CD，AB∥CD．取AB的中點F，連接DF，可得DF=BC=6，DF∥BC．連接PF并延長，使得PF=FE，則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{PF}$．連接DP，由于$\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{4}$=$\overrightarrow{DP}$，可得$\frac{1}{4}\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{DP}$，P，D，E，F(xiàn)四點在同一條直線上．設(shè)PD=a，則PE=4a，PF=2a，BC=DF=PD+PF=3a．利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：，$|\overrightarrow{DF}|$cos∠ADF=|$\overrightarrow{DP}$|，過F作FG⊥AD，垂足為G，在Rt△DFG中，可得FG．過P作PH⊥AD，垂足為H，在△DFG中∽△DPH．即可得出PH．

解答 解：如圖所示，
在梯形ABCD中，∵$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，∴AB=2CD，AB∥CD．
取AB的中點F，連接DF，則四邊形BCDF是平行四邊形，∴DF=BC=6，DF∥BC．
連接PF并延長，使得PF=FE，則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{PF}$．
連接DP，∵$\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}{4}$=$\overrightarrow{DP}$，
∴$\frac{1}{4}\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{DP}$，∴P，D，E，F(xiàn)四點在同一條直線上．
設(shè)PD=a，則PE=4a，PF=2a，BC=DF=PD+PF=3a．
∵$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DF}$=$|\overrightarrow{DA}|$•$|\overrightarrow{DF}|$cos∠ADF=|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{DP}$|，
∴$|\overrightarrow{DF}|$cos∠ADF=|$\overrightarrow{DP}$|，
過F作FG⊥AD，垂足為G，在Rt△DFG中，F(xiàn)G=$\sqrt{（3a）^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a；
過P作PH⊥AD，垂足為H，在△DFG中∽△DPH．
∴$\frac{DF}{DP}=\frac{FG}{PH}$，∴PH=$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$．
即點P到直線AD的距離為$\frac{2\sqrt{2}}{3}a$．
3a=6，解得a=2．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角形相似，考查了作圖能力、推理能力與計算能力，屬于難題．