Question

3．設(shè)實數(shù)a＞1，b＞1．則“a＜b”是“l(fā)na-lnb＞a-b”成立的充要條件．（請用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中之一填空．）充要．

Answer 1

分析 可設(shè)f（x）=lnx-x，x＞1，通過求導(dǎo)數(shù)，便可判斷該函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，而由lna-lnb＞a-b得到lna-a＞lnb-b，即f（a）＞f（b），從而得出“a＜b”等價于“l(fā)na-lnb＞a-b”，從而得出答案為充要條件．

解答 解：設(shè)f（x）=lnx-x，x＞1，則$f′（x）=\frac{1-x}{x}＜0$；
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴a＜b?f（a）＞f（b）；
即a＜b?lna-a＞lnb-b；
∴a＜b?lna-lnb＞a-b；
∴“a＜b”是“l(fā)na-lnb＞a-b”的充要條件．
故答案為：充要．

點評 考查構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，減函數(shù)定義的運用，等價關(guān)系及充要條件的概念．