Question

如圖，A，B是雙曲線

x2

4

-y²=1的左右頂點，C，D是雙曲線上關于x軸對稱的兩點，直線AC與BD的交點為E．
（1）求點E的軌跡W的方程；
（2）若W與x軸的正半軸，y軸的正半軸的交點分別為M，N，直線y=kx（k＞0）與W的兩個交點分別是P，Q（其中P是第一象限），求四邊形MPNQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知A（-2，0），B（2，0），設C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），則

x02

4

-y02=1，由兩點式分別得直線AC，BD的方程為直線AC：

y

y0

=

x+2

x0+2

，直線BD：

y

-y0

=

x-2

x0-2

，由此能求出點E的軌跡W的方程．
（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx

，得（4k²+1）x²=4，由此利用弦長公式結合已知條件能求出四邊形MPNQ的面積取最大值．

解答： 解：（1）由已知A（-2，0），B（2，0），
設C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），則

x02

4

-y02=1，①
由兩點式分別得直線AC，BD的方程為：
直線AC：

y

y0

=

x+2

x0+2

，直線BD：

y

-y0

=

x-2

x0-2

，
兩式相乘，得

y2

-y02

=

x2-4

x02-4

，②
由①，得-y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

，代入②，得：

y2

4-x02 4

=

x2-4

x02-4

，
整理，得-4y²=x²-4，
∴點E的軌跡W的方程

x2

4

+y2=1．
（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx

，得（4k²+1）x²=4，
∴P（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），Q（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
四邊形MPNQ的面積S=S_△QOM+S_△DMP+S_△NOP+S_△NOQ
=2（S_△QMP+S_△QNP），
∴S=

1

2

(

1

2

|OM|•yP+

1

2

|ON|•xP)=2y_P+x_P
=

2(2k+1)

4k2+1

=2

(2k+1)2 4k2+1

=2

4k2+1+4k2 4k2+1

=2

1+ 4k 4k2+1

=2

1+ 4 4k+ 1 k

，
∵k＞0，∴4k+

1

k

≥4，
故當且僅當4k=

1

k

，即k=

1

2

時，四邊形MPNQ的面積取最大值為2

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．