Question

設(shè)函數(shù)，其中
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（2）求的極值點(diǎn)；
（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立。

Answer 1

（1）單調(diào)遞增（2）無極值（3）見解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用
（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系的運(yùn)用。
（2）在第一問的基礎(chǔ)上分析得到極值點(diǎn)。
（3）對(duì)于不等式恒成立的證明，主要是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。
解：（1）由題意知，，），
設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為，，
所以
即，上恒成立，
，時(shí)，，
，上單調(diào)遞增。
（2）①由（1）得，函數(shù)無極值點(diǎn)；
②時(shí)， 有兩個(gè)相同的解，
，，；，時(shí)，，
，上無極值；
③時(shí)，：
，      
，，，
：

	，		，
	－	0	+
	減	極小值	增

由此表可知：，有唯一極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，所以，，
此時(shí)，：

	，		（，）		，
	+	0	－	0	+
	增	極大植	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)
極小值點(diǎn)
綜上所述，：，有唯一極小值點(diǎn)； 時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；，無極值點(diǎn)。
（3）設(shè)，1〕，則不等式化為，
即
設(shè)函數(shù)，則
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在〔0，1〕上單調(diào)遞增，又
，1〕時(shí)，恒有，即，
因此不等式成立