Question

已知函數(shù)f（x）=a（2cos²

x

2

+sinx）+b．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0，且x∈[0，π]時(shí)，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，利用三角恒等變換（輔助角公式）可得f（x）=

2

sin（x+

π

4

）+b+1，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[0，π]⇒x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）∈[b，（

2

+1）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，從而可求得a與b的值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2cos²

x

2

+sinx+b=1+cosx+sinx+b=

2

sin（x+

π

4

）+b+1．
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）；
（2）因?yàn)椋琭（x）=a（2cos²

x

2

+sinx）+b=a（1+cosx+sinx）+b=

2

asin（x+

π

4

）+b+a，
x∈[0，π]⇒x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]⇒sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]⇒

2

asin（x+

π

4

）∈[-a，

2

a]，
所以，f（x）∈[b，（

2

+1）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，
所以b=3，a=

4-3

2 +1

=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想．