Question

在△ABC中，已知（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）
證明：△ABC是等腰三角形或直角三角形．

Answer 1

分析：把已知等式左右兩邊的第二個(gè)因式分別利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并抵消后再利用正弦定理及二倍角的正弦函數(shù)公式變形，得到sin2A和sin2B相等，可得出A與B的關(guān)系，進(jìn)而確定出三角形的形狀．

解答：證：∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）=（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB），
化簡(jiǎn)整理得：a²cosAsinB=b²sinAcosB，
由正弦定理得sin²AcosAsinB=sin²BsinAcosB，
即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

，
則△ABC是直角的三角形或等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及直角、等腰三角形的判定，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．