Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁≠0，前n項和為S_n，且S₄+a₂=2S₃；等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₂，b₂=a₄
（1）若a₁=2，設Cn=

2	log2bn•log2bn+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n；
（2）在（1）的條件下，若有f（n）=log₃T_n，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）、根據(jù)題中給出的條件得出a₁與d的關系，進而求得等比數(shù)列{bn}的通項公式，便可求得數(shù)列Cn的通項公式，即可的出數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n；
（2）、根據(jù)（1）中得出的T_n的通項公式求出f（n）的表達式，進而求得f（1）+f（2）+…+f（n）最大值．

解答：解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₄+a₂=2S₃，得4a₁+6d+a₁+d=6a₁+6d，
∴a₁=d，…（2分）
則a_n=a₁+（n-1）d=na₁，
∴b₁=a₂=2a₁，b₂=a₄=4a₁，
等比數(shù)列{b_n}中q=

b2

b1

=2，…（3分）
則b_n=2a₁•2^n-1=2ⁿ•a₁，…（4分）
當a₁=2時，b_n=2ⁿ⁺¹，cn=

2

(n+1)(n+2)

=2(

1

n+1

-

1

n+2

)…（6分）
則T_n=c₁+c₂+…+c_n=2(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)
=2(

1

2

-

1

n+2

)=

n

n+2•

…（8分）
（2）f(n)=log3Tn=log3

n

n+2•

∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=log3

1

3

+log3

2

4

+…+log3

n

n+2

=log3(

1

3

•

2

4

•…•

n

n+2

)=log3

2

(n+1)(n+2)

≤log3

2

(1+1)(1+2)

=-1
即f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值為-1．…（12分）

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)以數(shù)列前n項和的求法，考查了學生的計算能力，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，是各地高考的熱點，屬于中檔題．