Question

如圖，在多面體ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，且AC=BC=CD=1，．
（1）求直線AD與平面ABC所成角的大��；
（2）求證：AC⊥平面BCDE；
（3）在AB上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥AE？若存在，說(shuō)明F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：∵AC=BC=1，，∴AC⊥BC，
又由CD⊥平面ABC，可得CA，CB，CD兩兩垂直
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CD分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系
則C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），
（1）則=（-1，0，1），易得=（0，0，1）為平面ABC的一個(gè)法向量
設(shè)直線AD與平面ABC所成角為θ
則sinθ==
故θ=45°
故直線AD與平面ABC所成角為45；
（2）由已知CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AC，又由AC=BC=1，，∴AC⊥BC，
又∵AC∩BC=C
故AC⊥平面BCDE；
（3）取AB的中點(diǎn)F，即為所求，
連接CF，
由AC=BC，∴CF⊥AB
又∵BE⊥平面ABC，∴BE⊥CF
又∵AB∩BE=B
∴CF⊥平面ABE
又∵AE?平面ABE
∴CF⊥AE
分析：（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CD分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出幾何體中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AD的方向向量與平面ABC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線AD與平面ABC所成角的大��；
（2）由已知中AC=BC=1，．由勾股定理易得AC⊥BC．又由CD⊥平面ABC，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得到DC⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面BCDE；
（3）在取AB的中點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及BE⊥平面ABC，結(jié)合線面垂直的判定及性質(zhì)，易得到CF⊥平面ABE，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間直線與平面垂直、平行的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征，是解答本題的關(guān)鍵．