Question

已知二次函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f（x）＜4x的解集為{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）+bx，且當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)F（x）的最小值為1，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）不等式f（x）＜4x的解集為{x|1＜x＜3}，則a＞0且x₁=1，x₂=3是方程f（x）-4x=0的兩根，結(jié)合二次函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)和韋達(dá)定理，分別求出各項(xiàng)系數(shù)，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）分析函數(shù)F（x）=f（x）+bx的圖象，并分類討論區(qū)間[-1，2]與函數(shù)對(duì)稱軸的關(guān)系，可得到x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性及最小值，進(jìn)而求出相應(yīng)的b值．

解答： 解：（I）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（x）是偶函數(shù)知f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
則-

b

2a

=0，即b=0，故f（x）=ax²+c．…（1分）
∵不等式f（x）＜4x的解集為{x|1＜x＜3}，
∴a＞0且x₁=1，x₂=3是方程f（x）-4x=0即ax²-4x+c=0的兩根．
由韋達(dá)定理，得

1+3= 4 a 1×3= c a

，
解得：a=1，c=3．…（5分）
∴f（x）=x²+3．…（6分）
（II）由（ I）知，F(x)=x2+bx+3=(x+

b

2

)2+3-

b2

4

，對(duì)稱軸x=-

b

2

．…（7分）
下面分類討論：
①當(dāng)-

b

2

≥2，即b≤-4時(shí)，F(xiàn)（x）在[-1，2]上為減函數(shù)，
∴F（x）_min=F（2）=2b+7=1，得b=-3（舍去）．…（9分）
②當(dāng)-

b

2

∈(-1，2)，即-4＜b＜2時(shí)，F(x)min=F(-

b

2

)=-

b2

4

+3=1，
∴b=-2

2

或b=2

2

（舍去）．…（11分）
③當(dāng)-

b

2

≤-1，即b≥2時(shí)，F(xiàn)（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，
∴F（x）_min=F（-1）=4-b=1，得b=3．…（13分）
綜上所述，b=-2

2

或b=3為所求．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，偶函數(shù)的性質(zhì)，不等式解集與函數(shù)的零點(diǎn)及方程根的關(guān)系，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．