Question

2．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（2）曲線C交x軸于A、B兩點，且點A的橫坐標小于點B的橫坐標，P為直線l上的動點，求△PAB周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直線l的極坐標方程，得ρcosθ-ρsinθ=1，由此能求出直線l的直角坐標方程，由曲線C的參數方程能求出C的普通方程．
（2）曲線C表示圓心（5，0），半徑r=1的圓，令y=0，得A（4，0），B（6，0），作A關于直線l的對稱點A₁得A₁（1，3），當P為A₁B與l的交點時，△PAB的周長最小，由此能求出△PAB周長的最小值．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由直線l的極坐標方程，得$ρcosθsin\frac{π}{4}-ρsinθcos\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
即ρcosθ-ρsinθ=1，
∴直線l的直角坐標方程為x-y=1，即x-y-1=0，…（3分）
∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴由曲線C的參數方程得C的普通方程為：（x-5）²+y²=1．…（5分）
（2）由（1）知曲線C表示圓心（5，0），半徑r=1的圓，
令y=0，得x=4或x=6．
∴A點坐標為（4，0），B點坐標為（6，0）． …（7分）
作A關于直線l的對稱點A₁得A₁（1，3）．…（8分）
由題設知當P為A₁B與l的交點時，△PAB的周長最小，
∴△PAB周長的最小值為：|AP|+|PB|+|AB|=|A₁B|+|AB|=$\sqrt{34}+2$．…（10分）

點評 本題考查直線的直角坐標方程和曲線的普通方程的求法，考查三角形周長的最小值的求法，考查代數式的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的性質及互化公式的合理運用．