Question

14．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2$\sqrt{3}$，則該球的表面積為（　�。�

• A． 8π
• B． 16π
• C． 32π
• D． 36π

Answer 1

分析 由題意把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：由題意畫(huà)出幾何體的圖形如圖，
把A、B、C、P擴(kuò)展為三棱柱，
上下底面中心連線的中點(diǎn)與A的距離為球的半徑，
PA=2AB=2$\sqrt{3}$，OE=$\sqrt{3}$，△ABC是正三角形，∴AB=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}\sqrt{A{B}^{2}-\frac{1}{4}A{B}^{2}}$=1．
AO=$\sqrt{3+1}$=2．
所求球的表面積為：4π×2²=16π．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補(bǔ)法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵．