Question

如圖，設(shè)、分別是圓和橢圓的弦，且弦的端點在軸的異側(cè)，端點與、與的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號.

（Ⅰ）若弦所在直線斜率為，且弦的中點的橫坐標為，求直線的方程；

（Ⅱ）若弦過定點，試探究弦是否也必過某個定點. 若有，請證明；若沒有，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦必過定點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得：直線的方程為

，，設(shè)

，將代入檢驗符合題意，

故滿足題意的直線方程為：

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圓的方程為：分

設(shè)、、、，

∵點在圓上，    ∴，………①

∵點在橢圓上，  ∴，………②

聯(lián)立方程①②解得：，同理解得： 

∴、    ∵弦過定點，

∴且，即，

化簡得 

直線的方程為：，即，

由得直線的方程為：，

∴弦必過定點.

解法二：由（Ⅰ）得：圓的方程為：

設(shè)、，

∵圓上的每一點橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的倍可得到橢圓，

又端點與、與的橫坐標分別相等，縱坐標分別同號，

∴、 

由弦過定點，猜想弦過定點. 

∵弦過定點，∴且，即……① ,,

由①得，

∴弦必過定點.

考點：本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用。

點評：本題以直線、圓、橢圓為載體，綜合考查推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．