Question

已知函數(shù)y=sin²x-

1

2

sinx+1，（x∈R），若當(dāng)x=α?xí)r，y取最大值；當(dāng)x=β時(shí)，y取最小值，且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，則sin（α-β）=（　　）

• A、-

  1

  4

• B、

  1

  4

• C、-

  15

  4

• D、

  15

  4

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意和二次函數(shù)單調(diào)性可得sinα和sinβ，進(jìn)而可得cosα和cosβ，由兩角差的正弦公式可得．

解答： 解：∵y=sin²x-

1

2

sinx+1=（sinx-

1

4

）²+

15

16

，
由二次函數(shù)單調(diào)性和sinx的范圍可知：
當(dāng)sinx=-1即sinα=-1時(shí)，y取最大值

5

2

，
當(dāng)sinx=

1

4

即sinβ=

1

4

時(shí)，y取最小值

15

16

，
∵α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，∴cosα=0，cosβ=

15

4

，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
=-1×

15

4

-0×

1

4

=-

15

4

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．