Question

如圖在棱長均為2的正四棱錐P-ABCD中，點E為PC中點，則下列命題正確的是（　　）

• A、BE平行面PAD，且直線BE到面PAD距離為

  3

• B、BE平行面PAD，且直線BE到面PAD距離為

  2 6

  3

• C、BE不平行面PAD，且BE與平面PAD所成角大于

  π

  6

• D、BE不平行面PAD，且BE與面PAD所成角小于

  π

  6

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：連接AC，BD，交點為O，以O為坐標原點，OC，OD，OP方向分別x，y，z軸正方向建立空間坐標系，分別求出直線BE的方向向量與平面PAD的法向量，代入向量夾角公式，求出BE與平面PAD夾角的正弦值，再由正弦函數的單調性，即可得到答案．

解答： 解：連接AC，BD，交點為O，以O為坐標原點，
OC，OD，OP方向分別x，y，z軸正方向建立空間坐標系，
由正四棱錐P-ABCD的棱長均為2，點E為PC的中點，
則O（0，0，0），A（-

2

，0，0），B（0，-

2

，0），
C（

2

，0，0），D（0，

2

，0），
P（0，0，

2

），E（

2

2

，0，

2

2

），
則

BE

=（

2

2

，

2

，

2

2

），

PA

=（-

2

，0，-

2

），

PD

=（0，

2

，-

2

），
設

m

=（x，y，z）是平面PAD的一個法向量，
則

m • PA =- 2 x- 2 z=0 m • PD = 2 y- 2 z=0

，
取x=1，得

m

=（1，-1，-1），
設BE與平面PAD所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

m

，

BE

＞|=|

- 2

3 • 3

|=

2

3

＜

1

2

，
故BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角小于30°．
由此排除選項A，B，C．
故選：D．

點評：本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要注意向量法的合理運用．