Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0）點(diǎn)P(1，

2

2

)在這個(gè)橢圓上．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)點(diǎn)P(1，

2

2

)在這個(gè)橢圓上得到2a=|PF1|+|PF2|=2

2

求出a，再結(jié)合c=1即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為y=k（x+1），把直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出關(guān)于M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)的方程，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．注意斜率不存在時(shí)也要討論．

解答：解：（1）由已知得，2a=|PF1|+|PF2|=2

2

，∴a=

2

．∵c=1，∴b=1．
∴所求橢圓的方程為

x2

2

+ y2=1．…（4分）
（2）由（1）得F₁（-1，0）．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L的方程為y=k（x+1），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y）．
聯(lián)立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1.

消元，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．…（8分）
∴x1+x2=

-4k2

1+2k2

．從而y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

．
∴

x= -2k2 1+2k2 y= k 1+2k2 .

當(dāng)k=0時(shí)，中點(diǎn)P就是原點(diǎn)．k≠0時(shí)，x≠0且y≠0．
則k=-

x

2y

，代入y=

k

1+2k2

，得y(x2+2y2+x)=0．
因?yàn)閥≠0，所以x²+2y²+x=0．…（10分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，線段MN的中點(diǎn)為F₁．
所以，所求軌跡方程為x²+2y²+x=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系．熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．