Question

如圖，左側(cè)的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖（單位：cm）．
（1）求該多面體的體積；
（2）證明：平面BDC′∥平面EFG．

Answer 1

分析：（1）利用轉(zhuǎn)化思想V=V_長方體-V_正三棱錐，求該多面體的體積；
（2）在長方體ABCD-A′B′C′D′中，連接AD′，在所給直觀圖中連接BC′，證明EG∥BC′，即可證明BC′∥面EFG，同理BD∥平面EFG，即可證明平面BDC′∥平面EFG．

解答：解：（1）由題意，多面體可以看成一個長方體截去一個小三棱錐，
∴所求多面體體積V=V_長方體-V_正三棱錐=4×4×6-

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

284

3

（cm³）．…（6分）
（2）證明：補(bǔ)全長方體ABCD-A′B′C′D′中，依題意E，G分別為AA′，A′D′的中點．
連接BD，B′D′，則四邊形AD′C′B為平行四邊形，
∴AD′∥BC′．…（9分）
∵E，G分別為AA′，A′D′的中點，
∴AD′∥EG，從而EG∥BC′．
∵EG?平面EFG，BC′?平面EFG，
∴BC′∥平面EFG．…（12分）
同理BD∥平面EFG．
∵BC′∩BD=B，
∴平面BDC′∥平面EFG．…（14分）

點評：本題考查幾何體體積的計算，考查面面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．