Question

（2012•陜西）（1）如圖，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．
（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）證法一：做出輔助線，在直線上構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方向向量，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0，根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到結(jié)果．
證法二：做出輔助線，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得到線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再根據(jù)性質(zhì)得到結(jié)論．
（2）把所給的命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出你命題的正確性．

解答：證明：（1）證法一：如圖，過(guò)直線b上任一點(diǎn)作平面α的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n對(duì)應(yīng)的方向向量分別是

a

，

b

，

c

，

n

，則

b

，

c

，

n

共面，
根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ，μ使得

c

=λ

b

+μ

n

，
則

a

•

c

=

a

•( λ

b

+μ

n

)=λ(

a

+

b

)+μ(

a

•

n

)
因?yàn)閍⊥b，所以

a

•

b

=0，
又因?yàn)閍?α，n⊥α，
所以

a

•

n

=0，
故

a

•

c

=0，從而a⊥c
證法二
如圖，記c∩b=A，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過(guò)P做PO⊥α，垂足為O，則O∈c，
∵PO⊥α，a?α，
∴直線PO⊥α，
又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b=P，
∴a⊥平面PAO，
又c?平面PAO，
∴a⊥c
（2）逆命題為：a是平面α內(nèi)的一條直線，b是α外的一條直線（b不垂直于α），c是直線b在α上的投影，若a⊥c，則a⊥b，
逆命題為真命題

點(diǎn)評(píng)：本題考查用向量的方法證明線線垂直，利用線面垂直的判定和性質(zhì)證明線線垂直，考查命題的逆命題的寫法，本題是一個(gè)綜合題目，是一個(gè)中檔題．