Question

已知圓O：x²+y²=4，過(guò)點(diǎn)M（1，

2

）的兩條弦AC，BD互相垂直，則AC+BD的最大值是（　�。�

• A、6
• B、2

  10

• C、4

  3

• D、5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：作OE⊥AC、OF⊥BD，分別連接OB、OM、OC，則OE²=OC²-CE²，OF²=ME²=OM²-OE²=OM²-（OC²-CE²）=OM²+CE²-OC²，BF²=OB²-OF²=OB²-（OM²+CE²-OC²）=OB²+OC²-OM²-CE²=2（OB）²-OM²-CE²．由此能求出AC+BD的最大值．

解答： 解：如圖，作OE⊥AC、OF⊥BD，
分別連接OB、OM、OC，
則OE²=OC²-CE²，
OF²=ME²=OM²-OE²=OM²-（OC²-CE²）=OM²+CE²-OC²，
BF²=OB²-OF²=OB²-（OM²+CE²-OC²）
=OB²+OC²-OM²-CE²=2（OB）²-OM²-CE²．
由題意知：OB=2、OM=

3

，
故BF=

5-CE2

．
則：AC+BD=2CE+2BF=2（CE+BF）
=2（CE+

5-CE2

）
由不等式x+y≤

2(x2+y2)

，
得：CE+

5-CE2

≤

2

（CE²+5-CE²）=

10

．
所以AC+BD≤2

10

，即AC+BD的最大值為2

10

．
故答案為：2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線段和的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．