Question

14．如圖，銳角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)A（x₁，y₁），將射線OA繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$后與單位圓交于點(diǎn)B（x₂，y₂），記函數(shù)f（α）=y₁+y₂．
（1）求函數(shù)f（α）的值域；
（2）比較f（$\frac{1}{2}$）和f（$\frac{3}{2}$）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）f（α）=y₁+y₂=sinα+sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$），即可求函數(shù)f（α）的值域；
（2）確定f（α）在（0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，且關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$），即可比較f（$\frac{1}{2}$）和f（$\frac{3}{2}$）的大�。�

解答 解：（1）f（α）=y₁+y₂=sinα+sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{6}$），
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴f（α）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]；
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴f（α）在（0，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，且關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，
∴f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$），
∵0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$＜$\frac{π}{3}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{2π}{3}$-$\frac{3}{2}$），
即f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性，屬于中檔題．