Question

已知函數(shù)f（x）=sin（π-2x），g（x）=2cos²x，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上為增函數(shù)
②函數(shù)y=f（x）+g（x）的最小正周期為2π
③函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱
④將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象．
其中正確的結(jié)論是

③

．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：由于f（x）=sin（π-2x）=sin2x，g（x）=2cos²x=1+cos2x，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析即可．

解答：解：函數(shù)f（x）的增區(qū)間由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

可得：kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
當(dāng)k=0時(shí)，-

π

4

≤x≤

π

4

，當(dāng)k=1時(shí)，

3π

4

≤x≤

5π

4

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上為減函數(shù)，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，f（x）+g（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，T=π，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)x=

π

8

時(shí)，y=f（

π

8

）+g（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+

π

4

）+1=

2

+1=y_max，故③正確；
對(duì)于④，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到h（x）=sin2（x-

π

2

）+1=-sin2x+1≠g（x），
故④錯(cuò)誤．
綜上所述，③正確．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考察正弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，考察降冪公式與輔助角公式，屬于中檔題．