已知常數(shù)a0，向量c0，a，i1，0，經過原點O以cli為方向向量的直線與經過定點A0，a以i2lc為方向向量的直線相交于點P，其中lÎR．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE||PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

 

答案：
解析：

解：概據題設條件，首先求出點P的坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點的距離的和為定值．

∵ i=(1，0)，c=(0，a)，  ∴ c+li=(l，a)，i-2lc=(1，-2la)．因此，直線OP和AP的方程分別為ly=ax和y-a=-2lax．

消去參數(shù)l，得點P(x，y)的坐標滿足方程y(y-a)=-2a2x2，整理得

，　　　　　　　　　　　　    ①

因為a>0，所以得：

（1）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

（2）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；

（3）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點

 


提示：

本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力

 


練習冊系列答案
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（Ⅱ）若an≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=
1
2
，數(shù)列{cn}滿足：cn=
an
an+2012
，對于任意給定的正整數(shù)k，是否存在p，q∈N*，使得ck=cp•cq？若存在，求出p，q的值（只要寫出一組即可）；若不存在說明理由．

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已知常數(shù)a0，向量c0，a，i1，0，經過原點O以cli為方向向量的直線與經過定點A0，a以i2lc為方向向量的直線相交于點P，其中lÎR．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE||PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

 

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