Question

如圖，ABCD為空間四邊形，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H分別在CD、AD上，且DH=

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AD，DG=

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3

CD，求證：直線EH、FG必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線BD上．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)已知中四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理，我們易證明出EH∥FG，但EH≠FG，故四邊形EFGH是梯形；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易得EFGH四點(diǎn)共面，而且EF與FG相交，結(jié)合公理3我們易證明出FE和GH的交點(diǎn)在直線AC上．

解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=

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2

AC，
又∵DH=

1

3

AD，DG=

1

3

CD，∴HG∥AC，因此EF∥HG且EF≠HG
故四邊形EFGH是梯形；（6分）
所以EH，F(xiàn)G相交，設(shè)EH∩FG=K
∵K∈EH，EH?平面ABD，
∴k∈平面ABD
同理K∈平面BCD，
又平面ABD∩平面BCD=BD
∴K∈BD
故EH和FG的交點(diǎn)在直線BD上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線等分線段定理，及三線共點(diǎn)問題，其中利用平行線等分線段定理求出四邊形EFGH的形狀是解答本題的關(guān)鍵．