Question

若直線與曲線滿足下列兩個條件：直線在點處與曲線相切；曲線在點附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線. 下列命題正確的是__ ____（寫出所有正確命題的編號）

①直線在點處“切過”曲線：

②直線在點處“切過”曲線：

③直線在點處“切過”曲線：

④直線在點處“切過”曲線：

Answer 1

①③

【解析】

試題分析：①因為，所以 ，所以曲線：在點處的切線為，且當 時， ；當 時；即曲線：在點附近位于直線的兩側(cè)；所以①正確.

②設 ，則

當 時，，函數(shù)在區(qū)間 上為減函數(shù)；

當 時，，函數(shù)在區(qū)間 上為增函數(shù)；

所以，即在上恒成立，所以曲線：總在直線下方，不合定義，所以命題②不正確；

③因為，所以 ，所以曲線：在點 處的切線為，設 ，則，所以函數(shù)為減函數(shù)；

又 ，

所以當 時， 即；曲線：在切線的下方；

所以當 時， 即；曲線：在切線的上方；

所以命題③正確；

④設 ，則

當 時，

當 時，，函數(shù)在區(qū)間 上為減函數(shù)；

當 時，，函數(shù)在區(qū)間 上為增函數(shù)；所以，即在上恒成立，所以曲線：總在直線上方，不合定義，所以命題④不正確.

綜上可知，正確的命題只有①③，所以答案應填：①③.

考點：1、新定義；2、導數(shù)的幾何意義；3、導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應用.