Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的長半軸長為2，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與以，為直徑的圓交于，兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ） ；

（Ⅱ） 直線的方程為或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)可知，結(jié)合即可求得從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ） 由題設(shè)，以為直徑的圓的方程為，利用原點(diǎn)到直線的距離將弦CD的長表示為 的函數(shù)，類似地，利用直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合方程組消去 所得的一元二次方程和韋達(dá)定理將線段AB的長也表示成 的函數(shù)，并由確定的值，從而得到所求的直線方程.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知 2分

解得

∴ 橢圓的方程為． 4分

（Ⅱ）由題設(shè)，以為直徑的圓的方程為， 5分

∴ 圓心的直線的距離，由得．（*） 6分

∴ ． 7分

設(shè)由，得， 8分

由求根公式可得． 9分

∴ ． 10分

由得， 解得，滿足（*）． 11分

∴ 直線的方程為或． 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、直線與橢圓的位置關(guān)系綜合問題.