Question

14．已知f（x）=x²+3x+1，g（x）=$\frac{a-1}{x-1}$+x，若h（x）=f（x）-g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值為（　�。�

• A． 1
• B． $-\frac{5}{27}$
• C． 1或$-\frac{5}{27}$
• D． $[{-\frac{5}{27}，1}]$

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a=x³+x²-x（x≠1）的交點(diǎn)問題，令h（x）=x³+x²-x，（x≠1），畫出函數(shù)h（x）的圖象，結(jié)合圖象求出a的值即可．

解答 解：聯(lián)立y=f（x）和y=g（x）得 x²+3x+1=$\frac{a-1}{x-1}$+x，
整理可得 a=x³+x²-x，且 x≠1．
令函數(shù)h（x）=x³+x²-x，可得函數(shù)h（x） 的極值點(diǎn)在-1和$\frac{1}{3}$處，
畫出h（x）的草圖，如圖示：

當(dāng)x=-1時(shí)，h（x）=1；  當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，h（x）=-$\frac{5}{27}$，
故當(dāng)a=1時(shí)，y=a和y=h（x）1個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)椋?，1）不在h（x）上，不滿足條件．
故當(dāng)a=-$\frac{5}{27}$時(shí)，結(jié)合圖象可得y=a和y=h（x）恰有2個(gè)交點(diǎn)．
綜上，只有當(dāng)a=-$\frac{5}{27}$時(shí)，才能滿足y=a和y=h（x）恰有2個(gè)j交點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．