Question

已知橢圓C

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，離心率為

2

2

．直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若線段AB的垂直平分線通過點(diǎn)(0，-

1

2

)，證明：2k²+1=2m；
（3）在（2）的前提下，求△AOB（O為原點(diǎn)）面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出a，b的值即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明；
（3）借助于弦長(zhǎng)公式表示出三角形的面積公式，再求出面積的最大值即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由已知可得

e= c a = 2 2 2b=2 a2=b2+c2

解得a²=2，b²=1．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

2

+y2=1． 

（2）聯(lián)立方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
當(dāng)△=8（2k²-m²+1）＞0，
即2k²+1＞m²①時(shí)，x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-2

1+2k2

．
所以

x1+x2

2

=

-2km

1+2k2

，

y1+y2

2

=

m

1+2k2

．
又

y1+y2 2 -(- 1 2 )

x1+x2 2 -0

=-

1

k

，
化簡(jiǎn)整理得：2k²+1=2m②．

（3）代②入①得：0＜m＜2．
又原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=

|m|

1+k2

．
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

1+k2

4k2-2m2+2

1+2k2

．
所以S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

|m| 4k2-2m2+2

1+2k2

．
而2k²+1=2m且0＜m＜2，
則S_△AOB=

1

2

4m-2m2

，0＜m＜2．
所以當(dāng)m=1，即k²=

1

2

時(shí)，S_△AOB取得最大值

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．