Question

8．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t+a\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）（{a∈R}）$，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ-4sinθ．
（1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，以及將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{2}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化方法，即可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)圓心到直線l的距離為$\sqrt{2}$時(shí)，圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{2}$，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t+a\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）（{a∈R}）$得x-y+a=0即為直線l的普通方程；
將ρ=4cosθ-4sinθ等號(hào)左右兩邊同乘以ρ得：ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y得x²+y²-4x+4y=0（x-2）²+（y+2）²=8，即為圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）因?yàn)閳AC的半徑為$2\sqrt{2}$，故當(dāng)圓心到直線l的距離為$\sqrt{2}$時(shí)，圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為$\sqrt{2}$；
所以圓心（2，-2）到直線x-y+a=0的距離為$\sqrt{2}$，即$\frac{{|{2+2+a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，所以a=-6或a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．