Question

20．存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a，則a的取值范圍是a≤$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 寫出”存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a“的否定，求出命題的否定成立時(shí)a的范圍，再求該命題成立時(shí)a的取值范圍即可．

解答 解：命題“存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a”的否定為：
對(duì)任意x＞0，都有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$＜a恒成立；
又對(duì)任意x＞0，都有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$＜a恒成立時(shí)a的范圍是：
∵x＞0時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=$\frac{1}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取“=”，
∴a＞$\frac{1}{5}$；
∴命題“存在x₀＞0，使$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{3x}_{0}+1}$≥a時(shí)，
a的取值范圍是：a≤$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題與命題的否定的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題目．