定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，
（1）求證：f（0）=1
（2）求證：y=f（x）是偶函數(shù)．
【答案】分析：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問(wèn)題．在解答時(shí)：
（1）在抽象表達(dá)式中令x=y=0代入表達(dá)式即可獲得問(wèn)題的解答；
（2）在抽象表達(dá)式中令x=0，y不動(dòng)，結(jié)合（1）的結(jié)論即可獲得f（-y）與f（y）之間的關(guān)系，從而獲得函數(shù)的奇偶性．
解答：解：（1）令x=y=0則有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）2f（0）=f（0）f（0），
因?yàn)閒（0）≠0，
所以f（0）=1．
（2）令x=0
則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象表達(dá)式的應(yīng)用能力、特值的問(wèn)題處理技巧以及必要的計(jì)算能力．同時(shí)函數(shù)的奇偶性定義也在題目中得到了體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．給出如下命題：
①對(duì)給定的函數(shù)f（x），其承托函數(shù)可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)；
②定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；
③g（x）=2x為函數(shù)f（x）=ex的一個(gè)承托函數(shù)；
④g（x）=
1
2
x為函數(shù)f（x）=x2的一個(gè)承托函數(shù)．
其中，正確的命題個(gè)數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N*），其導(dǎo)函數(shù)記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．設(shè)函數(shù)g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無(wú)極值點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)g′（x）有零點(diǎn)，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率k的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足xf（x）為偶函數(shù)，f（x+2）=-f（x），（x∈R） 且當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）=（2-x）3．
（1）求-1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求f（2008）、f（2008.5）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=
x
2
+2，則f-1（x+1）的表達(dá)式是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)y=f（x）滿足：
（1）對(duì)任意的x，y∈R，f（x+y）=2f（x）•f（y），（2）f(0)=
12
．
請(qǐng)寫出滿足上述條件（1）和（2）的一個(gè)函數(shù)
f（x）=2x-1或2-x-1
f（x）=2x-1或2-x-1
（寫出一個(gè)即可）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案