Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（2）從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)截距不為0時(shí)，根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設(shè)出切線方程x+y=a，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切線的方程；當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)出切線方程為y=kx，同理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；
（2）根據(jù)圓切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)P的軌跡方程，由軌跡方程得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點(diǎn)到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩者聯(lián)立即可此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
∴當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)切線方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓的半徑

2

，
即

|-1+2-a|

2

=

2

，
解得：a=-1或a=3，
當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)y=kx，
同理可得k=2+

6

或k=2-

6

，
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+

6

)x或y=(2-

6

)x．

（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線2x-4y+3=0的距離d=

3 5

10

，
∴由

x 2 1 + y 2 1 = 9 20 2x1-4y1+3=0

，可得

x1=- 3 10 y1= 3 5 .

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-

3

10

，

3

5

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿(mǎn)足的條件，會(huì)根據(jù)條件求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．