Question

【題目】已知函數.

（1）若是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出函數的導數，問題轉化為，根據函數的單調性求出的范圍即可；

（2）令（），問題等價于.求導數，判斷的單調性，求最值即可.

（1）定義域，，

因為是單調遞增函數，故對恒成立，

即對恒成立.

記，則，

由，令得，

當時，，當時，，

故在單調遞減，在單調遞增，

所以，

從而.

（2）令（），問題等價于.

由，，

∴函數在上是增函數，

容易證明時，，，

則，

由得，（舍負）

從而取，；

另外，容易證明，取正數x滿足

從而取c滿足，有.

（注：這里也可以這樣處理：當時，，，

故；

當時，，，）

所以存在唯一的，使得，當時，；

當時，；

從而在區(qū)間上遞減，在上遞增，

，

由，得：，

∴，

∴，即.

設，則為增函數，

，，則有唯一零點，設為t，

則，則，即，

令，則單調遞增，且，

則，即，

∵在為增函數，

則當時，a有最大值，，

∴，即a的取值范圍是.