【題目】已知函數.
(1)若是單調遞增函數,求實數a的取值范圍;
(2)若恒成立,求實數a的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)求出函數的導數,問題轉化為,根據函數的單調性求出的范圍即可;
(2)令(),問題等價于.求導數,判斷的單調性,求最值即可.
(1)定義域,,
因為是單調遞增函數,故對恒成立,
即對恒成立.
記,則,
由,令得,
當時,,當時,,
故在單調遞減,在單調遞增,
所以,
從而.
(2)令(),問題等價于.
由,,
∴函數在上是增函數,
容易證明時,,,
則,
由得,(舍負)
從而取,;
另外,容易證明,取正數x滿足
從而取c滿足,有.
(注:這里也可以這樣處理:當時,,,
故;
當時,,,)
所以存在唯一的,使得,當時,;
當時,;
從而在區(qū)間上遞減,在上遞增,
,
由,得:,
∴,
∴,即.
設,則為增函數,
,,則有唯一零點,設為t,
則,則,即,
令,則單調遞增,且,
則,即,
∵在為增函數,
則當時,a有最大值,,
∴,即a的取值范圍是.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,某十字路口的花圃中央有一個底面半徑為的圓柱形花柱,四周斑馬線的內側連線構成邊長為的正方形.因工程需要,測量員將使用儀器沿斑馬線的內側進行測量,其中儀器的移動速度為,儀器的移動速度為.若儀器與儀器的對視光線被花柱阻擋,則稱儀器在儀器的“盲區(qū)”中.
(1)如圖,斑馬線的內側連線構成正方形,儀器在點處,儀器在上距離點處,試判斷儀器是否在儀器的“盲區(qū)”中,并說明理由;
(2)如圖,斑馬線的內側連線構成正方形,儀器從點出發(fā)向點移動,同時儀器從點出發(fā)向點移動,在這個移動過程中,儀器在儀器的“盲區(qū)”中的時長為多少?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形、的邊長都是1,而且平面、互相垂直.點M在上移動,點N在上移動,若().
(1)當a為何值時,的長最小;
(2)當長最小時,求面與面所成的二面角α的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現的曲線.在平面直角坐標系中,把到定點,距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點,下列說法中正確的有( )
①雙紐線經過原點; ②雙紐線關于原點中心對稱;
③; ④雙紐線上滿足的點有兩個.
A.①②B.①②③C.②③D.②③④
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