Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}（a_n＞0）的首項(xiàng)為1，且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通過S_n＞0及平方差公式整理可知$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1（n≥2），從而$\sqrt{{S}_{n-1}}$-$\sqrt{{S}_{n-2}}$=1、$\sqrt{{S}_{n-2}}$-$\sqrt{{S}_{n-3}}$=1、…、$\sqrt{{S}_{2}}$-$\sqrt{{S}_{1}}$=1，累加計(jì)算可知S_n=n²，進(jìn)而利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知S_n=n²，通過放縮、裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵a_n＞0，即S_n＞0，
∴S_n-S_n-1=（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），
即$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1（n≥2），
∴$\sqrt{{S}_{n-1}}$-$\sqrt{{S}_{n-2}}$=1，$\sqrt{{S}_{n-2}}$-$\sqrt{{S}_{n-3}}$=1，…，$\sqrt{{S}_{2}}$-$\sqrt{{S}_{1}}$=1，
累加得：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{1}}$=n-1，
又∵a₁=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n，即S_n=n²，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2），
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（2）證明：由（1）可知S_n=n²，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
∴T_n≤1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+（1-$\frac{1}{n}$）
=2-$\frac{1}{n}$
＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用放縮法、裂項(xiàng)法求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．