Question

18．已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 通過對a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$（n≥2）兩邊同時取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1，進而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項、1為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項、1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．