【題目】已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(3,m)在拋物線E上,且|AF|=4.

(1)求拋物線E的方程;
(2)已知點(diǎn)G(﹣1,0),延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B,證明:以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

【答案】
(1)解:由拋物線定義可得:|AF|=3+ =4,解得p=2.

∴拋物線E的方程為y2=4x;


(2)證明:∵點(diǎn)A(3,m)在拋物線E上,

∴m2=4×3,解得m=±2 ,不妨取A(3,2 ),F(xiàn)(1,0),

∴直線AF的方程:y= (x﹣1),

聯(lián)立拋物線,化為3x2﹣10x+3=0,解得x=3或 ,B( ,﹣ ).

又G(﹣1,0),∴kGA= .kGB=﹣ ,

∴kGA+kGB=0,

∴∠AGF=∠BGF,∴x軸平分∠AGB,

因此點(diǎn)F到直線GA,GB的距離相等,

∴以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.


【解析】(1)由拋物線定義可得:|AF|=3+ =4,解得p.即可得出拋物線E的方程.(2)由點(diǎn)A(3,m)在拋物線E上,解得m,不妨取A(3,2 ),F(xiàn)(1,0),可得直線AF的方程,與拋物線方程聯(lián)立化為3x2﹣10x+3=0,解得B( ,﹣ ).又G(﹣1,0),計(jì)算kGA , kGB , 可得kGA+kGB=0,∠AGF=∠BGF,即可證明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

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