Question

【題目】已知圓M的方程為x2+（y﹣2）2=1，直線l的方程為x﹣2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），過(guò)P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求直線CD的方程；
（3）求證：經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（2m，m），由題可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，

解之得： ，

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，0）或

（2）解：設(shè)直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，

由題知圓心M到直線CD的距離為 ，所以 ，

解得，k=﹣1或 ，故所求直線CD的方程為：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0

（3）證明：設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn) ，

因?yàn)镻A是圓M的切線，所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，

故其方程為：

化簡(jiǎn)得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是關(guān)于m的恒等式，

故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，

解得 或

所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)（0，2）或（ ， ）

【解析】（1）設(shè)P（2m，m），代入圓方程，解得m，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）設(shè)直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），由圓心M到直線CD的距離求得k，則直線方程可得．（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點(diǎn) ，因?yàn)镻A是圓M的切線，進(jìn)而可知經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進(jìn)而可求得x和y，得到經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．