【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）計(jì)算，，，；

（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

【答案】（1）依題設(shè)可得，，，；

（2）猜想：．

證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)時(shí)，猜想成立，

即．那么，當(dāng)時(shí)，，即．

又，所以，

從而．即時(shí)，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

【解析】試題分析：（1）采用賦值法，令，,先求，時(shí)，，求，然后令和時(shí)，分別求和；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，將前4項(xiàng)寫(xiě)成，，，，觀(guān)察前4項(xiàng)的形式，猜想，最后按數(shù)學(xué)歸納法證明.

試題解析：（1）依題設(shè)可得，，，

（2）猜想：．

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)n=k（）時(shí)，猜想成立，即．

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，， 即．

又， 所以，

從而．

即n=k+1時(shí)，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的短軸長(zhǎng)為2，且函數(shù)的圖象與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)為線(xiàn)段的中垂線(xiàn)與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，求面積的最小值，并求此時(shí)直線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知（），，且直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切.

（1）求的值；

（2）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證： （）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且， .

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求證： ；

（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)且.求證： 的面積為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為做好2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的宣傳工作，組委會(huì)計(jì)劃從某大學(xué)選取若干大學(xué)生志愿者，某記者在該大學(xué)隨機(jī)調(diào)查了300名大學(xué)生，以了解他們是否愿意做志愿者工作，得到的數(shù)據(jù)如表所示：

愿意做志愿者工作

不愿意做志愿者工作

合計(jì)

男大學(xué)生

180

女大學(xué)生

45

合計(jì)

200

（Ⅰ）根據(jù)題意完成表格；

（Ⅱ）是否有的把握認(rèn)為愿意做志愿者工作與性別有關(guān)？

附：，

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

.072

2.706

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（1）求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；

（2）是否存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域的任意恒成立，若存在，求出 的值；若

不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線(xiàn)， 是焦點(diǎn)，直線(xiàn)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意直線(xiàn)．

（Ⅰ）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)， 是垂足），求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）若、兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，求證：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】A，B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x km處的D地建一核電站給A，B兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10 km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．

(1)求x的取值范圍；

(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；

(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電費(fèi)用最��？

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