【題目】已知橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為.過點(diǎn)作直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若的面積為，求直線的方程；

（3）證明：點(diǎn)在定直線上.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可由此即可求出橢圓的方程；

（2）分直線MN的斜率存在和不存在兩種情況，利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出高的長(zhǎng)度，再根據(jù)的面積為，即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)：，與橢圓聯(lián)立，可得，設(shè)：，同理可得 ，可得的方程為：，又直線方程過，將代入直線方程，由此可得，因?yàn)?/span>與交于點(diǎn)，所以可得，由此即可求出結(jié)果.

（1），解得：；

所以橢圓方程為：.

（2）設(shè)，①當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)：設(shè)MN方程為，聯(lián)立得：，

，；

；

到MN直線的距離為，

；

當(dāng)時(shí)，MN直線方程過直線MN與橢圓的交點(diǎn)不在第一象限（舍）；

所以MN方程為.

②當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，（舍）.

綜上：直線MN方程為：

（3）設(shè)：，與橢圓聯(lián)立：，

同理設(shè)：，可得

所以的方程為：以及方程過，將坐標(biāo)代入可得：， .

又因?yàn)?/span>與交于P點(diǎn)，即，，將代入得，所以點(diǎn)P在定直線上 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.

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（Ⅰ）估計(jì)班學(xué)生物理成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)（精確到）、平均數(shù)（各組區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（Ⅱ）填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為物理成績(jī)與班級(jí)有關(guān)？

物理成績(jī)的學(xué)生數(shù)

物理成績(jī)的學(xué)生數(shù)

合計(jì)

班

班

合計(jì)

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑．

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