Question

17．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD為正方形，E為DP的中點，AF⊥PC于F．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向理量法能證明PC⊥平面AEF．
（Ⅱ）先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
設PA=AD=2，則P（0，0，2），C（2，2，0），
D（2，0，0），B（0，2，0），E（1，0，1），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），
$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AE}$=2+0-2=0，∴PC⊥AE，
∵AF⊥PC于F，AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），
設平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角B-AC-E的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．