Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax2
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a＞1，若對任意x1 ， x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ，（x＞0），

a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）遞增，

a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得：x＞ ，

故函數f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減

（2）

解：不妨設x1≤x2，而a＞1，

由（1）得：f（x）在（0，+∞）遞增，

從而對任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|

等價于x1，x2∈（0，+∞），f（x2）﹣4x2≥f（x1）﹣4x1①

令g（x）=f（x）﹣4x，則g′（x）= +2ax﹣4

① 等價于g（x）在（0，+∞）單調遞增，即 +2ax﹣4≥0．

從而2a≥ = +4，∴a≥2

故a的取值范圍為[2，+∞）

【解析】
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．