Question

4．已知f（x）為定義在$（0，\frac{π}{2}）$上的函數(shù)，f'（x）是它的導函數(shù)，且$\frac{f'（x）}{tanx}＜f（x）$恒成立，則（　　）

• A． $f（\frac{π}{3}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{6}）$
• B． $f（\frac{π}{6}）＜\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）$
• C． $f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$
• D． $f（\frac{π}{4}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 把給出的等式變形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其導函數(shù)的符號得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（ $\frac{π}{3}$），整理后即可得到答案．

解答 解：因為x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$＞0，
所以函數(shù)g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，
則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$），
對照選項，變形得A正確；
故選：A．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則，考查了利用函數(shù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型．