Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x（a∈R）是偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求不等式f(x)＞e+

1

e

的解集．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)性質有f（-1）=f（1），由此即可求得a值；
（2）不等式f(x)＞e+

1

e

可整理為e•e^2x-（e²+1）•e^x+e＞0，由此可得e^x的范圍，進而可求得x的范圍．

解答：解：（1）因為f（x）為偶函數(shù)，
所以有f（-1）=f（1），即e^-1+ae=e+ae^-1，整理，得（a-1）（e-e^-1）=0，解得a=1，
所以a=1；
（2）f(x)＞e+

1

e

，即e^x+e^-x＞e+

1

e

，整理得e•e^2x-（e²+1）•e^x+e＞0，
所以e^x＞e或e^x＜

1

e

，解得x＞1或x＜-1．
故不等式的解集為{x|x＞1或x＜-1}．

點評：本題考查偶函數(shù)的性質及指數(shù)型不等式的求解，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)值可采用特值法，如本題，關于指數(shù)型不等式求解，常用方法為：或者換元，或者化為同底利用單調性解決．