Question

8．關(guān)于函數(shù)$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，有下列說法：
①函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式可以該寫為$y=4cos（{2x-\frac{π}{6}}）$；
②函數(shù)y=f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點$（{-\frac{π}{6}，0}）$對稱；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對稱；
⑤函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱．其中正確的是①③．（填上所有你認(rèn)為正確的序號）

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：對于函數(shù)$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，利用誘導(dǎo)公式可得f（x）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（$\frac{π}{6}$-2x）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），故①正確；
根據(jù)函數(shù)$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）（{x∈R}）$，可得它的周期為$\frac{2π}{2}$=π，故②錯誤；
令x=-$\frac{π}{6}$，可得f（x）=4sin0=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點$（{-\frac{π}{6}，0}）$對稱，故③正確；
令x=$\frac{π}{6}$，可得f（x）=4sin$\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$，不是最值，故函數(shù)y=f（x）的圖象不關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對稱，故④錯誤；
函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位后，可得y=4sin（2x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
而函數(shù)y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象不關(guān)于原點對稱，故所得的圖象不關(guān)于原點對稱，故⑤錯誤，
故答案為：①③．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．