Question

定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＝lnx－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．

(Ⅰ)求x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0 　　∵為偶函數(shù)，∴ 　　(2)∵為偶函數(shù)，∴＝0的根關(guān)于0對(duì)稱． 　　由＝0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，知5個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根． 　　且兩個(gè)正根和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù) 　　∴原命題圖像與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 　　下面研究x＞0時(shí)的情況 　　∵ 　　即為單調(diào)增函數(shù)，故不可能有兩實(shí)根 　　∴a＞0令 　　當(dāng)遞減， 　　∴處取到極大值 　　又當(dāng) 　　要使軸有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)＞0 　　解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍(0，) 　　方法二： 　　(2)∵為偶函數(shù)，∴＝0的根關(guān)于0對(duì)稱． 　　由＝0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解知5個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根． 　　且兩個(gè)正根和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù) 　　∴原命題圖像與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 　　下面研究x＞0時(shí)的情況 　　與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 　　∴當(dāng)時(shí)，遞增與直線y＝ax下降或是x國(guó)， 　　故交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，不合題意　∴a＞0 　　由幾何意義知與直線y＝ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y＝ax的變化應(yīng)是從x軸到與相切之間的情形． 　　設(shè)切點(diǎn) 　　∴切線方為 　　由切線與y＝ax重合知 　　故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，)