Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{xsinθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的極值；
（Ⅱ）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得kx₀-f（x₀）＞$\frac{2e}{{x}_{0}}$成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出θ的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）構(gòu)造F（x）=kx-$\frac{1}{x}$-lnx-$\frac{2e}{x}$=kx-$\frac{1+2e}{x}$-lnx，轉(zhuǎn)化為：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{1}{sinθ{•x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即$\frac{sinθ•x-1}{sinθ{•x}^{2}}$≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，又0＜sinθ≤1只有sinθ=1得θ=$\frac{π}{2}$，
由f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，解得：x=1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值；
（Ⅱ）構(gòu)造F（x）=kx-$\frac{1}{x}$-lnx-$\frac{2e}{x}$=kx-$\frac{1+2e}{x}$-lnx，
則轉(zhuǎn)化為：若在[1，e]上存在x₁，使得F（x₀）＞0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍，
①當(dāng)k≤0時，x∈[1，e]，F(xiàn)（x）＜0在[1，e]恒成立，
∴在[1，e]上不存在x₀，使得kx₀-f（x₀）＞$\frac{2e}{{x}_{0}}$成立．
②當(dāng)k＞0時，F(xiàn)′（x）=k+$\frac{1+2e}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{kx}^{2}+1+e+（e-x）}{{x}^{2}}$，
∵x∈（1，e），∴e-x＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e）恒成立，
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_max=F（e）=ke-$\frac{1}{e}$-3，
只要ke-$\frac{1}{e}$-3＞0，
解得k＞$\frac{3e+1}{{e}^{2}}$．
綜上，k的取值范圍是（$\frac{3e+1}{{e}^{2}}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查角的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．