19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，α=∠BAD，（1+tanα）（1+tanβ）=2，cosC=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求∠ADB的值；
（Ⅱ）若BD=2，DC=7，求AB邊的長(zhǎng)．

分析 （Ⅰ）利用已知可求tanα+tanβ=1-tanαtanβ，進(jìn)而利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan∠ADB=-1，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可得解．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠DAC的值，由正弦定理可求AD的值，進(jìn)而利用余弦定理即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵（1+tanα）（1+tanβ）=2，
∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tan∠ADB=-tan（B+α）=-$\frac{tanB+tanα}{1-tanBtanα}$=-1，
∴∠ADB=$\frac{3π}{4}$…4分
（Ⅱ）∵cosC=$\frac{3}{5}$，可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4}{5}$，…6分
∴sin∠DAC=sin（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinC+cosC）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，…8分
∵由$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，可得：AD=$\frac{DC•sinC}{sin∠DAC}$=$\frac{7×\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=4$\sqrt{2}$，…10分
∴AB2=BD2+AD2-2BD×AD×cos∠ADB=52，
∴解得：AB=2$\sqrt{13}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和的正切函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow$=（m，1），若向量$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$平行，則m=（　�。�
A．$-\frac{7}{2}$B．$-\frac{1}{2}$C．$\frac{3}{2}$D．$\frac{5}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow\right|=2\sqrt{3}$、$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow\right|=2$，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=（　�。�
A．1B．2C．-1D．-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．已知向量$\overrightarrow m=（{sinx，1}），\overrightarrow{\;n}=（{\sqrt{3}Acosx，\frac{A}{2}cos2x}）（{A＞0}）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值為6．
（1）求A的值及函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在$[{0，\frac{5π}{24}}]$上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，若AB=2，AC=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{7}$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�
A．：當(dāng)AA1=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A1B1C1體積取得最大值，最大值為$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
B．：當(dāng)AA1=$\frac{6}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A1B1C1體積取得最大值，最大值為$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
C．：當(dāng)AA1=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A1B1C1體積取得最大值，最大值為$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$
D．：當(dāng)AA1=$\frac{6}{7}$時(shí)，三棱柱ABC-A1B1C1體積取得最大值，最大值為$\frac{6}{7}$$\sqrt{7}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．如圖，△ABC中的陰影部分是由曲線y=x2與直線x-y+2=0所圍成，向△ABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為$\frac{9}{16}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表達(dá)
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）
（3）若g（t）+m≥0對(duì)t∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）、f1（x）和f2（x），滿足f（x）=f1（x）+f2（x），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）-f1（x2）|＞|f2（x1）-f2（x2）|成立．
（1）試寫 出一組滿足條件的具體的f1（x）和f2（x），使f1（x）為增函數(shù)，f2（x）為減函數(shù)，但f（x）為增函數(shù)．
（2）判斷下列兩個(gè)命題的真假，并說明理由．
命題1）：若f1（x）為增函數(shù)，則f（x）為增函數(shù)；
命題2）：若f2（x）為增函數(shù)，則f（x）為增函數(shù)．
（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，寫出一組滿足條件的具體的f1（x）和f2（x），且f2（x）為非常值函數(shù)，并說明理由．

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