Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$，可求函數(shù)f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間求得函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最值．

解答 解：（1）由題意得：$T=\frac{2π}{|ω|}=\frac{2π}{2}=π$，即周期為π．
令$μ=2x+\frac{π}{4}$，則$f（μ）=\sqrt{2}sinμ+2$．
∴$-\frac{π}{2}+2kπ≤μ≤\frac{π}{2}+2kπ$，即$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
解之得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z
故函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$
∴$f（x）∈[1，2+\sqrt{2}]$即f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為$2+\sqrt{2}$，最小值為1．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．